Comment poser une division sans table de multiples ni soustractions intermédiaires :

Alors, prenez un papier et un crayon et accrochez-vous, on y va :

65 987 : 89 (avec la potence, bien sûr) :

- En 659, combien de fois 89 (petit arc de cercle au-dessus de 659) ou en 65 dizaines, combien de fois 9 dizaines (parce que 89 est beaucoup plus proche de 9 dizaines que de 8 dizaines) ?
- Il y va 7 fois, j'écris 7 au quotient.

- Je multiplie ce quotient partiel par le diviseur et je le soustrais du dividende partiel :
a) 7 fois 9 unités = 63 unités ; 63 unités ôtées de 9, ça ne se peut pas, je mets une retenue de 6 à côté du 9. 63 unités ôtées de 69, il reste 6. J'écris 6 sous les unités du dividende partiel.

b) 7 fois 8 dizaines = 56 dizaines ; 56 dizaines plus les 6 de retenue = 62 dizaines ; 62 dizaines ôtées de 65 = 3.

c) Le reste, 36, est plus petit que le diviseur, je peux continuer. J'abaisse le chiffre des dizaines pour le deuxième dividende partiel.

- En 368, combien de fois 89, ou en 36 dizaines, combien de fois 9 dizaines ?
- Il y va 4 fois. Je pose 4 comme deuxième quotient partiel.

- Je calcule le produit de 89 x 4 :
a) 4 fois 9, 36. 36 ôté de 38 (3 de retenue) = 2.

b) 4 fois 8 = 32 ; 32 + 3 = 35 ; 35 ôté de 36 = 1.

c) Le reste (12) est inférieur au diviseur. J'abaisse le 7.

- En 127, combien de fois 89, ou en 12 dizaines, combien de fois 9 dizaines ?
- 1 fois. J'écris 1 comme chiffre des unités du quotient.

- Je calcule le produit de 89 x 1 et je note le reste de la division :
a) 1 fois 9 = 9 ; 9 ôté de 17 (1 de retenue) = 8. J'écris 8 comme reste dans les unités.

b) 1 fois 8 = 8 ; 8 + 1 de retenue = 9 ; 9 ôté de 12 = 3. J'écris 3 comme reste dans les dizaines.

c) Le reste, 38, est inférieur au diviseur.

Le quotient de la division de 65 987 : 89 est 741. Le reste est 38.

[Merci à Pascale pour sa jolie souris-scanner qui me rend bien des services ]

Un entretien avec Jean-Pierre Demailly, professeur de mathématiques à l'institut Fourier (Grenoble-I), membre de l'Académie des sciences, recueilli par J.P Brighelli, sur Le Point.fr

Quels programmes de mathématiques de la maternelle au lycée ?

Je regroupe ici quelques avis de collègues :

Chez abcdefgh

PédagoJ

Chez Pepourlavie

Ce matin, la leçon de mathématiques des CE1 portait sur l'ordre des facteurs. Et zut... juste la semaine où on m'explique, à moi la pas-matheuse-du-tout, que c'est très difficile pour un enfant de moins de huit ans...  Bien sûr, les autres années, ma leçon a toujours fonctionné et je ne me souviens pas de difficultés insurmontables mais allez savoir... D'ici à ce que ça me porte la poisse, cette re-révélation (on me l'avait déjà dit, il y a assez longtemps mais j'avoue que j'avais oublié).
 Si l'enfant de sept ans à huit ans peut, de lui-même, comprendre que l'achat de trois bonbons à 50 centimes pièce lui feront dépenser 150 centimes, il lui est quasiment impossible de réaliser que l'achat de 50 bonbons à 3 centimes [si, si, quand j'étais petite, il y en avait : des fraises chimiques, rose vif, à 1 centime de franc. C'était à la boulangerie au-dessus du bâtiment de l'ENS où on habitait, je me souviens très bien ! On déboulait à sept ou huit là-bas dedans, gosses de profs et gosses de factotums, c'était super...]  lui coûterait aussi 150 centimes.

Hier soir, du coup, j'ai vraiment bien préparé mon tableau. À gauche, j'ai positionné des aimants en 6 rangées de 5 aimants. En-dessous, il y avait des ronds dessinés à la craie, 4 rangées de 8...
 Et à droite, quatre opérations écrites en ligne : 3 x 43 (prononcer 3 multiplié par 43) ; 5 x 21 ; 4 x 62 et 2 x 540...

À l'heure dite, j'installe mes sept élèves de Grande Section, mes sept élèves de CP et mes huit élèves de CE1 face au tableau... "Combien ai-je positionné d'aimants au tableau ?" Les petits GS s'affairent... quelques CP ainsi qu'un CE1 aussi.  Les autres ont déjà le doigt levé.
Je laisse parler un élève de CP, issu du groupe des compteurs, qui me dit : "Cinq... dix... quinze... vingt... vingt-cinq... trente ! Il y a trente aimants !"
 Les doigts levés s'impatientent : "On ne doit pas faire comme ça. Il faut dire l'opération. Là, il y a 6 rangées de 5 aimants. C'est 5 aimants multiplié par 6. Six fois cinq, c'est égal à 30..."
J'envoie un élève de GS compter les aimants de la première rangée. Celui chargé de la deuxième rangée me dit :" C'est 5 aussi, parce qu'ils sont juste en-dessous de ceux d'en haut ! Et après, encore 5, encore 5, encore 5, encore 5 !"
 Un autre vient compter les rangées. Il y en a 6. Six rangées de cinq. Les CP me dictent alors l'opération : 5 aimants x 6 = 30 aimants.

Là, rien que pour embêter, j'entoure en jaune les aimants de la première colonne. Combien d'aimants, les petits ? Six, il y en a six. Et là ? Six encore, et puis six là, six là et six là. Un CE dicte, vite fait : "Six aimants multiplié par 5 égale... bah 30 aimants... il y en avait 30 tout à l'heure. Trente, c'est trente, hein ?"

Très bien. Et les ronds ? Combien de ronds dans chaque ligne, Lambinette ? Huit ronds, encore huit, encore huit, encore huit. Combien de rangées de huit ronds, Kass'andrah ? Quatre, une en haut, encore deux au milieu et puis une en bas.  Ibiza, qu'écrit-on ?... Huit multiplié par quatre ou alors quatre multiplié par huit, comme on veut.
 Les CE1, combien de ronds ? Trente-deux, quatre fois huit, ça fait seize et encore seize, alors trente-deux.

D'accord. Passons au plat de résistance, maintenant... Les GS vont aller travailler avec Véronique et nous allons continuer. Il faut vous dire que cette année, j'ai quelques élèves de CE1 qui n'étaient pas très sûrs d'eux en résolution de problèmes alors que les CP sont très à l'aise. Du coup, dès que j'en ai l'occasion, je leur fais inventer des problèmes qui peuvent correspondre  aux opérations que j'ai écrites à l'avance au tableau.

Nous commençons avec "3 x 43". Mon petit Aimé, CE1, en délicatesse avec beaucoup de concepts, lève le doigt. Allons-y, Aimé, raconte-nous ton "histoire" [les problèmes s'appellent "histoires", chez mes petits, ça passe mieux]. "Une maîtresse a 43 élèves. [Eh oh ! Aimé ! À bas les cadences infernales !] Elle donne 3 cahiers à chaque élève. Combien doit-elle préparer de cahiers ?
 - Les autres, ça vous va ?
 - Oui, c'est bien.
 - Alors ?
 - Il faut la poser. Tu mets le 43 en haut, le 3 en bas et tu comptes.
 -Trois fois trois, neuf. Il y a neuf unités.
 - Trois fois quatre, douze. Il y a douze dizaines.
 - Cent vingt-neuf ! La maîtresse doit préparer 129 cahiers ! Wahh, c'est long à préparer, ça, 129 !

- Deuxième problème, un amateur ? Boucle d'Or du CP ? Si tu veux...  - Au loto de l'école, un carton coûte 5 euros. La maîtresse en vend 21. Combien avons-nous gagné de sous ?
 Pour la suite, se reporter ci-dessus. La table de cinq, c'est trop fasss', maîtresse ! Deux cinq, ça fait dix ! Même les CP la comptent à toute vitesse !

- Passons donc au troisième... Toi, Oui-Oui [un prénom inventé à consonance anglo-saxonne, comme on en trouve beaucoup dans nos contrées reculées] ?  - Un livreur de pizzas fait tous les jours 4 km pour livrer une pizza chez Maxence [Oui-Oui adore les prénoms classieux. Ses personnages s'appellent toujours Louis, Charles, Maxence...] Combien aura-t-il parcouru de kilomètres en 62 jours ?
 Et là, comme d'habitude, mes zozos me conseillent de calculer plutôt 4 fois 62 et m'annoncent ensuite tout fiers que le livreur de pizzas a quand même parcouru 248 kilomètres pour nourrir Maxence et que ça fait vraiment beaucoup, finalement !

Ça a si bien marché que, du coup, j'ai abandonné le quatrième exercice. L'ordre des facteurs sonne toujours trois fois, c'est connu.

Ensuite, chacun est parti vaquer à ses occupations de maîtresse, de CP, ou de CE1... Et après la récréation, les CE1 ont pris leur cahier de mathématiques.  Ils ont d'abord posé et calculé : 3 x 560 ; 245 x 6 ; 5 x 286 ; 704 x 4 ; 450 x 5 ; 3 x 530 ; 485 x 4 et 6 x 913.
 Ensuite, ils ont résolu le problème suivant, tous, même Aimé après une sortie de route en première question [Toujours le problème du pilote automatique mal programmé... 125 croissants à 2 euros l'un... Bon sang mais c'est bien sûr ! La maîtresse ne va même pas se rendre compte que je n'ai lu que les nombres... Essayons 125 + 2 ! ] : 

Un boulanger vend 125 croissants à 2 euros l'un, 35 gâteaux à 3 euros l'un et 200 baguettes à 1 euro l'une. Quelle somme d'argent encaisse-t-il pour chacune de ces ventes ? Quelle somme encaisse-t-il en tout ? 

J'avais préparé le tableau ainsi, parce que, comme je l'ai signalé tout à l'heure, j'ai cette année des élèves faibles en résolution de problème et que je préfère leur donner confiance en eux plutôt que les noyer :

o : .... € O ... = ... ..s : Pour les croissants, il ...

o : ... € O ... = ... ..
s : Pour les gâteaux, il ...

o : ... € O ... = ... ..
s : Pour les baguettes, il ...

o : ... € O ... ... ...

s : En tout, il ... 

À droite du tableau, j'avais tracé la ligne rouge qui indique qu'il y aura des calculs à poser. Un seul élève s'est laissé entraîner et a posé 200 x 1 en regard de son 1 € x 200 et a bien ri de son travail inutile.

Conclusion : Eh bien je ne sais pas... Un micro-climat peut-être, juste au-dessus de l'école où je travaille, qui rend l'air particulièrement propice à la fabrication de conceptualisateurs de talent ? Trop de facilitateurs, de béquilles, de garde-fou ?

Oui mais quand même, l'histoire des cahiers, des cartons de loto et du livreur de pizza, ce sont bien les élèves qui les ont inventées, non ? Des élèves tout ce qu'il y a de plus normaux, avec des prénoms qui fleurent bon la série américaine du début d'après-midi, en plus... Aucun ne doit cirer de chaussures pour gagner sa vie, sans doute, mais aucun non plus n'est né avec une cuillère en argent dans la bouche, de parents estampillés "Réussite Scolaire Obligatoire" [Enfin, si, une au CE1. Mais aujourd'hui, elle n'est pas intervenue parce que, justement, je voulais voir ce qu'arrivaient à faire mes petits cireurs de chaussures.].

Cet après-midi, je donne à mes élèves le mot du maire avertissant leurs parents des horaires prévus pour la rentrée 2014 suite à l'intervention du Préfet et du DASEN :

- Surtout, surtout, ne perdez pas ce papier. C'est très important. Vos parents doivent savoir que l'année prochaine, la classe finira à 16 heures au lieu de 16 heures 30 et que vous aurez classe tous les mercredis matins !

- Hein ? Le mercredi matin ? Mais, moi, je peux pas, j'ai "psychologue" !

- Moi non plus, j'ai "poney"...
 - Et moi, j'ai "athlétisme"...
 - Oh ben non... Le mercredi, c'est le jour où j'allais chez mon papa !
 - Et moi, chez ma mamie...
 [Et j'ai gardé la plus triste pour la fin... Ma petite Mafalda qui vit seule avec sa maman bénéficiaire d'une allocation...]
 - Tu sais, maîtresse, moi, j'ai vraiment pas de chance. Cette année, c'est la première année où ma maman a pu m'inscrire à un sport. Et l'année prochaine, ce sera déjà fini. J'en aurai fait une seule année...

On ne sait pas, Mafalda... On ne sait pas... D'ici là, les associations auront peut-être trouvé comment faire rentrer deux fois plus d'enfants dans les gymnases, les stades, les salles de danse, les ateliers d'art, les salles de musique pendant l'après-midi du mercredi...